Прямолинейное движение 1.1. Напишем формулу кинетической энергии тела, сообщенную телу импульсом силы F. (1) Из формулы 1 выходит, что потенциальная энергия зависит от массы ускоренного тела. Формула 1 применяется в трех случаях. В первом случае – это ускорения силой гравитации. Если тела разных масс падают с высоты h, то они достигают поверхности земли одновременно, а, значит, кинетическая энергия их разная, равная и . Для большей массы потенциальная энергия силы гравитации отрезка h больше и может быть равна бесконечности. На тело массы , движущееся со скоростью , действовала сила гравитации в течении времени . Конечная скорость тела равна (2) Прирост скорости равен и он не зависит от начальной скорости тела. Потенциальная энергия отрезка h сообщает такую же по величине кинетическую энергию телу массы и совершает такую же работу (3) Второй случай применения формулы, когда сила F – постоянная величина. Этот тип ускорения представлен на рис.1. Сила F = mg ускоряет систему M+m с ускорением , которое зависит от величины массы М. Ускорение тоже происходит потенциальной энергией гравитации, поэтому формулы 1, 2, 3 действительны для этого ускорения. Отличие от первого случая состоит в том, что здесь появляется сила инерции, которая связывает две массы в одно целое. Теперь выясним, всегда ли один и тот же импульс в первом и во втором случае сообщает одну и ту же кинетическую энергию телу массы . Тело массы находилась в покое, когда на него подействовала сила в течение времени . Конечная скорость тела будет равна , а энергия
теперь пусть тело массы имеет начальную скорость и тоже будет ускоряться силой в течении времени . Конечная скорость тела будет равна а энергия . Так как начальная кинетическая энергия тела была , то импульс сообщил кинетическую энергию телу равную . Один и тот же импульс сообщил разную кинетическую энергию одному и тому же телу, в зависимости от начальной скорости тела, и это не нарушение закона сохранения энергии, так как за одно и тоже время тело, имеющее большую начальную скорость, прошло большее расстояние. А это расстояние не просто отрезок пространства, это отрезок гравитационного поля и, естественно, что больший отрезок сообщил телу большую кинетическую энергию. 1.2 По опыту ускорения тела силой гравитации вывели формулу 1 и применили ее для ускорения тела силой тяги. Но сила тяги и сила гравитации ускоряют тела по-разному. Сила тяги бывает обеспечена двигателем, который расходует потенциальную энергию своего топлива. Если мы будем давить на неподвижную опору в течение времени t силой тяги FT , то на давление будет расходоваться определенная энергия, и она не зависит ни от массы, ни от начальной скорости ускоряемого тела. Поэтому формула 1 неприемлема для ускорения силой тяги. Нельзя решить задачу по такому условию. На тело массы m, движущегося горизонтально, действует сила тяги FT. Найти ускорение тела. Поясним это на примере. Ускорение от силы гравитации на рис.1 равно
Будем тянуть за трос силой , равной силе . Вычислим ускорение от силы тяги
Казалось бы - равные по величине силы, а ускорение от силы гравитации отличается от ускорения от силы, тянущей за трос. Мы можем тянуть за трос, как показано на рис.1, или тянуть за трос горизонтально или в самом теле массы М находится двигатель силы тяги F, но, задачу на ускорение когда известна только сила тяги, решить нельзя, а ускорение под силой гравитации можно. 1.3 Если на тело действует две силы действия, равные по величине и противоположные по направлению, то они взаимно уничтожаются, и тело будет оставаться в покое или равномерном прямолинейном движении. При действии механической силы появляется сила инерции равная ей и противоположная по направлению. Но вопреки этому тело движется ускоренно. Разберёмся, почему. Сила инерции, в отличии от силы действия, не обладает потенциальной энергией и поэтому её энергия идет на то, чтобы не дать ускорить тело импульсом . Силы действия и инерции взаимно уничтожаются и импульса действия на тело нет. Сила инерции не дает возникнуть импульсу силы действия, но сила действия несет еще потенциальную энергию, которая непосредственно переходит в кинетическую энергию тела. Теперь разберемся, почему тело ускоряется импульсом, показанным на рис.1 ведь там тоже есть сила инерции. На рис.1 сила , ускоряет тела массами и . Здесь сила инерции направлена перпендикулярно силе действия , поэтому тела ускоряются импульсом. Сила натяжения троса, является силой инерции, только для тела массы М. Приведем доказательство этого. Пусть тела и полые, и в каждом находятся другие тела. Тело, находящееся в теле массы при ускорении начинает двигаться в противоположенную движению сторону, а тело, находящееся в теле массы будет с ним составлять одно целое, которое ускоряет тела и . Конечно, сила инерции тела массы тоже участвует в ускорении системы, она уменьшает ускорение от силы гравитации в раз. Итак, потенциальная энергия порции топлива переходит в кинетическую энергию без импульса, а импульс силы гравитации отрезка обладает потенциальной энергией, количество которой не ограничено. Напишем уравнение равновесия движения тела, получившего не импульс , а порцию потенциальной энергии топлива, которая во всех случаях постоянна
откуда прирост скорости ( ) равен (4) Из формулы 4 выходит, что прирост скорости от одинаковой порции тем меньше, чем больше начальная скорость тела, тогда как прирост скорости по формуле 2 ускорения от силы гравитации постоянен. У реактивного самолета определенной мощности существует максимальная скорость, выше которой данный реактивный самолет не может разогнаться. Дело в том, что чем выше скорость перед очередным впрыском топлива, тем меньше прирост скорости. При максимальной скорости прирост есть, но он стремится к нулю. Прирост скорости от силы тяги не подтверждается опытом прироста скорости ускоряемых силой тяги тел на Земле. Ведь Земля движется с большой скоростью, и начальная скорость тел, не равна нулю. В части 3 объясняется этот парадокс. Векторное сложение по формуле 4 отличается от векторного сложения по формуле 3, но это отдельная тема, не рассматриваемая данной статьей. 1.4 Потенциальная энергия топлива величина постоянная, ее порцию можно выразить через массу порции топлива и условную скорость
Реактивный самолет получает порцию потенциальной энергии топлива, равную . Через n порций его кинетическая энергия, по закону перехода потенциальной энергии в кинетическую, будет равна n , откуда (5) (для упрощения расчетов принято, что после получения порции потенциальной энергии, масса реактивного самолета остается неизменной, а так же вся потенциальная энергия топлива идет на его ускорение, т.е. кпд=100%). Решим задачу по закону сохранения энергии и известному импульсу, считая, что реактивный самолет получает импульс не сразу, а порциями в количестве n . откуда Пусть энергия порции импульса равна энергии порции топлива , тогда и пусть При получении 400 порций Vк = 20 м/сек = 720 км/час V1к = 400 м/сек = 14400 км/час Разница колоссальная. Почему получается такая разница. Количество порций потенциальных топлива и порции потенциальных энергии гравитации равно, а конечная скорость реактивного самолета разная.
Но у силы гравитации не может быть порций потенциальных энергий, на самом деле потенциальная энергия тела массы за время будет равна и разница потенциальных энергии гравитации и топлива будет равна . Эта разница образовалась потому, что у силы тяги есть сила инерции, которая растягивает или сжимает движущееся с ускорением тело и это растяжение забирает энергию силы тяги, не позволяя ускориться телу импульсом, и ускорение происходит порциями энергии топлива, равными порциям потенциальной энергии гравитации , где - время действия одной порции. 1.5 Мощность двигателя реактивного самолета будет равна (6) Где – количество порций, в единицу времени определенной массы топлива - для данного типа двигателя величина постоянная. Энергия порции массы топлива – величина постоянная для данного вида топлива, поэтому мощность N формулы 6 — величина постоянная для данного типа двигателя и данного вида топлива. Из формулы 5 выходит, что конечная скорость реактивного самолета не зависит от мощности двигателя реактивного самолета, а зависит от типа и запаса топлива. Реактивный самолет большей мощности имеет силу тяги больше, но ее время действия меньше, в результате реактивные самолеты достигают одинаковой конечной скорости. Выходит, что реактивный самолет очень малой мощности в конечном итоге достигает такой же скорости, что и очень большой, при условии равенства масс реактивных самолетов и равному запасу одинакового топлива, только сделает он это гораздо медленнее, а это не соответствует действительности. Разберемся почему. Длина пути по достижению конечной скорости у реактивного самолета большей скорости меньше. Напишем равенство работы и энергии:
где и – путь после израсходования топлива, - сила тяги реактивного самолета большей мощности, - сила тяги реактивного самолета малой мощности. Но это, если не учитывать сопротивление воздуха, а оно при равных скоростях будет равное, поэтому
где и – пробег реактивных самолетов после израсходования топлива при учете силы сопротивления воздуха. Реактивный самолет малой мощности, проделав путь , израсходует топливо, и его скорость станет равной . Реактивный самолет большей мощности достигнет скорости , и топливо еще не израсходует, и его конечная скорость будет больше. Кроме того, реактивный самолет, летящий горизонтально к поверхности Земли, тратит топливо не только на увеличение скорости, но и на удержание самолета на данном расстоянии от Земли. Часть энергии топлива экономит центробежная сила, а она тем больше, чем больше скорость самолета. Реактивный самолет большей мощности достигает высоты, когда трение воздуха не будет влиять на силу тяги, имея большую скорость, а, значит, сила гравитации, тянущая самолет к Земле будет уменьшать силу тяги самолета с большей мощностью двигателя меньше, чем самолет с меньшей мощностью двигателя. Сила тяги у реактивного двигателя обеспечена порциями топлива, поэтому сила тяги реактивного самолета тоже действует периодически, поэтому длина пробега, при которой он достигает максимальной скорости, зависит от промежутка между взрывами порций топлива. У турбореактивного двигателя сила тяги обеспечивается разностью давлений выхлопных газов турбокомпрессора. Здесь нет промежутков силы действия на самолет. При взрыве одинакового количества топлива и при равных промежутках времени между взрывами в топливном отсеке обоих самолетов у турбореактивного самолета пробег при достижении максимальной скорости меньше и создается впечатление, что он мощнее реактивного самолета. Турбокомпрессор не может увеличить мощность, он устраняет промежутки между взрывами. Предельная скорость автомобиля зависит от момента приводных колес, поэтому надо понять процесс криволинейного движения (см. п. 1.12). 1.6 Из п. 1.4. выходит, что энергия порции импульса может быть равна энергии порции топлива, при , в начале движения, если все топливо израсходуется сразу на ускорение тела и не будет промежутков между взрывами топлива То же самое произойдет при ускорении тел пружиной. Здесь тоже нет промежутков между ускорением. Рассмотрим равенство энергии импульса и энергии сжатой пружины. Пусть на конце сжатой пружины, имеющей потенциальную энергию , находится тело массы . Другой конец пружины уперт в неподвижную опору. После распрямления пружины, тело массы приобретает скорость и, следовательно, можно написать равенство
Но пружина воздействовала на тело силой в течении времени и, значит, справедливо равенство (7) Потенциальную энергию топлива можно выразить через импульс, если тело перед действием механической силы находилось в покое. 1.7 Пусть на концах сжатой пружины, имеющей потенциальную энергию Eп, находятся тела массами M и m. Найти конечные скорости тел. Вычислим потенциальную энергию пружины по контрольным массам и . Согласно формуле 6 выведем потенциальную энергию пружины через импульс. (8) Мы нашли потенциальную энергию данной пружины, которая действительна для всех масс тел, независимо от их начальной скорости движения, (естественно импульс для тел разных масс разный). Высчитаем, как распределяется потенциальная энергия, если пружина (порох и т.д.) ускоряет разные массы, когда пружина и тела находятся в относительном покое. , откуда (9) Аналогично (10) Формулы 9, 10 это закон распределения потенциальной энергии между ускоряемыми телами. Поделим формулу (10) на формулу (9). Получим , что соответствует опыту. Случай, когда сжатая пружина и тела движутся прямолинейно и равномерно, см. часть 3 п. 3.3 и часть 6. 1.8 Работа, произведенная двигателем, равна потенциальной энергии того запаса топлива, который ушел на ускорение автомобиля. Криволинейное движение 1.9 Пусть тело движется горизонтально по неподвижной плоскости. На тело действует сила гравитации (вес тела) и равная и противоположная по направлению сила нормального давления. Но плоскость может оставаться неподвижной только в том случае, если масса ее будет равна бесконечности или мы, следуя за телом, будем к плоскости прилагать силу действия, равную весу тела и противоположную ей по направлению это и будет сила нормального давления. Это доказывает, что сила нормального давления не является силой инерции, это сила действия. Пусть тело массы , прикрепленное к тросу, другой конец которого прикреплен к неподвижной оси, вращается вокруг нее с некоторой скоростью . Трос натянется, что будет свидетельством, что на него действуют две силы. Чтобы сделать ось неподвижной, мы должны к ней приложить силу, вращающуюся по окружности, вслед за силой, которая возникла при вращении тела по окружности. Сила, удерживающая ось, направлена к центру вращения это сила нормального давления, ее еще называют центростремительной, и, как показано, она не является силой инерции. Сила, равная и противоположная силе нормального давления, вторая, растягивающая трос сила, ее еще называют центробежной, тоже не является силой инерции, как и вес тела катящегося по плоскости. В доказательство перестанем удерживать ось вращения, если эта ось обладает гораздо большей по величине массой, чем масса вращающегося тела, то ось начнет двигаться ускоренно и двигать ее будет вторая сила. При ускоренном движении оси действительно возникнет сила инерции, равная и противоположная по направлению центробежной силой, но она не влияет на траекторию движения, ее назначение не дать системе, состоящей из оси и тела, ускоряться импульсом. Работа по перемещению тела и оси центробежной силой Fцб равна кинетической энергии, вращающегося по поверхности тела, и когда эта кинетическая энергия иссякнет, то тело и ось будут двигаться равномерно и прямолинейно. 1.10 Покажем, как возникает центробежная сила движущегося по кривой поверхности тела. По наклонной плоскости катится шар под действием силы гравитации. На его пути встречается плоскость, угол наклона к горизонту которой меньше, чем угол первой плоскости. Происходит удар. Но если плоскости будет соединять идеально плавный переход (окружность радиуса ), то тело массы будет прижимать к переходу. Это возникла центробежная сила действия , равная энергии удара о наклонную плоскость, прямо пропорциональная кинетической энергии тела и обратно пропорциональная радиусу закругления (11) Как и в случае мгновенного прижатия тела к плоскости в момент удара, сила тоже отнимает кинетическую энергию у тела. При , равным бесконечности, две плоскости будут соединяться в одну и центробежной силы, естественно не возникает. При , равным нулю, плоскости соединяются без перехода, тело массы ударяется о вторую плоскость и отрывается от нее. Поэтому силу удара нужно находить не по формуле 11, а по формуле удара тела о плоскость и формула 11 для определения силы прижатия при равным нулю теряет смысл. 1.11 На стержень с осью вращения, находящейся по середине, надето два тела массами так, что они могут свободно перемещаться по стержню. На концах стержня находятся заглушки. Сообщим стержню крутящий момент. Тела начнут перемещаться от оси стержня к его краям с ускорением. Их будет двигать сила , а возникающая при ускорении сила инерции не будет давать ускорить тела силе импульсом. Когда тела дойдут до конца стержня и упрутся в заглушки, то сила нормального давления не даст им перемещаться дальше. По закону сохранения энергии сила и сила нормального давления – центростремительная сила забирает энергию у крутящего момента. Доказательством того, что сила нормального давления и сила действия забирает энергию вращения, служит то обстоятельство, что крутящий момент, приложенный к вращающему диску, вскоре уравновешивается силами растяжения, и диск будет вращаться с постоянной скоростью. Но тогда почему Земля вращается столь долго, нарушая тем самым закон сохранения энергии? Объяснения см. часть 5. 1.12 Тело массы находится на конце стержня, на другом конце стержень соединен с неподвижной осью. Стержень имеет длину, равную . Опыт показывает, что, если к телу массы , приложить силу , то через некоторое время тело будет вращаться с постоянной скоростью , несмотря на то, что сила действует на тело массы сколь угодно долго. Это происходит потому, что для растяжения стержня требуется энергия, которая берется из кинетической энергии ускоряемого тела массы m. Предположим, тело ускоряется до тех пор, пока сила F, действующая на тело, не будет равна силе , равной . откуда (12) Из формулы 12 можно вычислить предельную скорость автомобиля. В зависимости от крутящегося момента Мкр приводного вала, (13) где I – момент инерции колес, с приводным валом, R – условный их радиус. Из формулы 13 выходит, что угловую скорость автомобиля для автомобиля данной мощности нельзя увеличить. Поэтому сколько бы шофер не нажимал на педаль газа, автомобиль, достигший предельной скорости, ее не превысит, это тоже является доказательством, что сила нормального давления – центробежная сила отбирает энергию у крутящего момента. 1.13 Если по наклонной плоскости, упирающейся в землю, скатывается шар под силой гравитации, и с той же точки будет падать другой точно такой же шар, то скорость их при падании на землю будет одинакова. Но если заменить силу гравитации силой тяги, то скорость шара, катящегося по наклонной плоскости, при падении на землю будет меньше, т.к. часть энергии силы тяги тратится на прижатие шара к плоскости. В случае прижатия шара к наклонной плоскости силой гравитации, энергии не тратится, ведь если шар лежит на поверхности земли, то энергии не расходуется. 1.14 Если на тело подействовать силой тяги F, перпендикулярной вектору скорости тела, то сила нормального давления не возникнет. Возникает сила инерции, не обладающая энергией и, поэтому, не влияющая на изменение траектории движения, и поэтому, сколько бы времени мы не действовали силой на тело, оно не придет в исходную точку. В этом случае вычислять траекторию движения нужно по векторному сложению скоростей. Это второй тип криволинейного движения. Криволинейное движение в этом случае результат векторного сложения начальной скорости тела и от моментальной скорости ускорения.
Каталог статей